Diberikan empat matriks A, B, C, dan D masing-masing berukuran 2x2 dengan \( A+CB^T = CD \). Jika A mempunyai invers serta diketahui \( \det(D^T-B) = m \) dan \( \det C = n \), maka \( \det(2A^{-1}) = \cdots \)
- \( \frac{4}{mn} \)
- \( \frac{mn}{4} \)
- \( \frac{4m}{n} \)
- \( 4mn \)
- \( \frac{m+n}{4} \)
(UM UGM 2019)
Pembahasan:
Dari soal diketahui \( \det(D^T-B) = m \) dan \( \det C = n \) sehingga:
\begin{aligned} A+CB^T &= CD \Leftrightarrow A = CD-CB^T \\[8pt] |A| &= |CD-CB^T| \Leftrightarrow |A| = | C(D-B^T) | \\[8pt] |A| &= |C| \cdot |(D-B^T)| \\[8pt] |A| &= n \cdot | (D^T-B)^T | \\[8pt] |A| &= n \cdot m \\[8pt] |2A^{-1}| &= 2^2 \cdot |A^{-1}| = 4 \cdot \frac{1}{|A|} \\[8pt] &= \frac{4}{mn} \end{aligned}
Jawaban A.